درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم هنرستان

1) با استفاده از رابطهٔ $x=60,000-300p$، مقدار $p$ را برحسب $x$ به‌دست آورید.

$x=60,000-300p\Rightarrow 300p=60,000-x\to $

$\frac{30\cancel{0}p}{30\cancel{0}p}=\frac{60,000-x}{300}\Rightarrow p=\frac{60,000-x}{300}$

2) درآمد حاصل از فروش $x$ کالا با قیمت $p$ را با $R=x.p$ نشان می‌دهند. معادلهٔ درآمد را برحسب $x$، بنویسید.

$R=xp\Rightarrow R=x(\frac{60,000-x}{300})$

$R=\frac{60,000x-{{x}^{2}}}{300}=\frac{-{{x}^{2}}+60,000x}{300}$

3) چند جمله‌ایِ درآمد برحسبِ $x$ از درجهٔ چند است؟

معادلهٔ درجهٔ دو

$R=\frac{-{{x}^{2}}+60,000x}{300}=3,000,000\Rightarrow -{{x}^{2}}+60,000x=900,000,000$

$-{{x}^{2}}+60,000x-900,000,000=0$

4) اگر درآمد حاصل از فروش، ماهیانه سه میلیون تومان باشد، چه معادله‌ای برای $x$ به‌دست می‌آید؟

معادلهٔ درجهٔ دو

رابطهٔ طول ضلع یک مربع با محیط آن و رابطهٔ طول ضلع یک مربع با مساحت آن را در نظر بگیرید. طول ضلع مربع را با $x$، محیط آن را با $P$ و مساحت آن را با $S$ نشان دهید.

1) رابطهٔ $P$ و $x$ و همچنین رابطهٔ $S$ و $x$ را با دو معادله بنویسید.

$=p=4x$ محیط

$=S=x.x={{x}^{2}}$ مساحت

2) جدول زیر را کامل کنید.

$x=1\,\,\,\,\,p=4\times 1=4\,\,\,\,\,s=1\times 1=1$

$x=2\,\,\,\,\,p=4\times 2=8\,\,\,\,\,s=2\times 2=4$

$x=3\,\,\,\,\,p=4\times 3=12\,\,\,\,\,s=3\times 3=9$

$x=4\,\,\,\,\,p=4\times 4=16\,\,\,\,\,s=4\times 4=16$

$x=5\,\,\,\,\,p=4\times 5=20\,\,\,\,\,s=5\times 5=25$

3) نقاط به‌دست آمده در جدول را در دو دستگاه محورهای مختصات زیر نشان دهید.

4) جدولی رسم کنید که میزان افزایش محیط و مساحت مربع را وقتی طول ضلع آن از 1 به ۲، از ۲ به 3 و از 4 به 5 افزایش می‌یابد، نشان دهد.

5) آیا نسبت افزایش محیط مربع به افزایش طول ضلع آن، مقدار ثابتی است؟

بله

6) آیا نسبت افزایش مساحت مربع به افزایش طول ضلع آن، مقدار ثابتی است؟

خیر

7) می‌خواهیم نقاط شکل (1) را به هم وصل کنیم؛ آیا می‌توانیم با یک خط راست همهٔ این نقاط را به هم وصل کنیم؟ چرا؟

8) می‌خواهیم نقاط شکل (2) را به هم وصل کنیم؛ آیا می‌توانیم با یک خط راست همهٔ این نقاط را به هم وصل کنیم؟ چرا؟

هزینهٔ ثابت ماهیانهٔ یک کارگاه تولید سیم برق، ۱۷۰,۰۰۰ تومان است. هزینۀ تهیهٔ مواد اولیه برای هر متر سیم 6۰ تومان و قیمت فروش هر متر سیم ۴۰۰ تومان است.

هزینه ثابت $+$ تومان 60 $=$ 1 متر سیم

$=2\times 60=120+170,000$ 2 متر سیم

$=3\times 60=180+170,000$ 3 متر سیم

$=x=x\times 60=60x+170,000$ $x$ متر سیم

$f(x)=60x+170,000$

$1=400$ متر

$2=2\times 400$ متر

$x=x\times 400$ متر

$y(x)=400x$ قیمت فروش

1) با توجه به این اطلاعات، جدول را کامل کنید.

2) اگر $x$ طول سیم‌های فروخته شده، $C$ هزینهٔ تولید و $R$ درآمد حاصل از فروش سیم در یک ماه باشد، رابطهٔ بین طول سیم‌های فروخته شده و هزینه و همچنین، رابطهٔ بین طول سیم‌های فروخته شده و درآمد حاصل از فروش را بنویسید.

$=C={{y}_{1}}=170,000+60x$ هزینهٔ تولید $x$ کالا برای فروش

$=R={{y}_{2}}=400x$ درآمد حاصل از فروش $x$ کالا

3) در دستگاه مختصات زیر، اگر محور افقی، طول سیم‌های فروخته شده برحسب متر و محور عمودی هزینهٔ تولید (برای رسم نمودار هزینه) و درآمد حاصل از فروش (برای رسم نمودار درآمد) برحسب تومان در یک ماه در نظر گرفته شود، رابطه‌های بالا را در این دستگاه مختصات رسم کنید (هر واحد محور افقی را ۱۰۰ متر و هر واحد محور عمودی را ۱۰۰ هزار تومان در نظر بگیرید).

$R(x)=400x$

$x=100\Rightarrow R(100)=400\times 100=40,000$

$100x=x$

$100,000y=Y$

$R(x)=0/4x$

$x=1\to R(1)=0/4$

$x=2\to R(2)=0/4\times 2=0/8$

$x=3\to R(3)=0/4\times 3$

$R(3)=1/2$

4) مختصات نقطهٔ برخورد دو خط را بیابید.

$C(x)=0/06x+1/7$

$R(x)=0/4x$

$x=?\Rightarrow C(x)=R(x)\Rightarrow 0/06x+1/7=0/4x$

5) نقطهٔ برخورد این دو خط چه چیزی را نشان می‌دهد؟

درآمد = هزینه

6) اگر مختصات نقطه‌ای در هر دو معادله صدق کند، این نقطه در کجا قرار دارد؟

$0/4x-0/06x=1/7$

$0/34x=1/7\Rightarrow x=\frac{1/7}{0/34}=5\to x=500$

$\left[ \begin{align} & 5 \\ & 2 \\ \end{align} \right]$

1) دو رابطه ${{y}_{1}}={{x}^{2}}$ و ${{y}_{2}}=2x+3$ را در نظر بگیرید و جدول زیر را کامل کنید.

${{y}_{1}}={{x}^{2}}\Rightarrow $

$x=-2\Rightarrow {{y}_{1}}={{(-2)}^{2}}=(-2)(-2)=4$

$x=-1\Rightarrow {{y}_{1}}={{(-1)}^{2}}=(-1)(-1)=1$

$x=0\Rightarrow {{y}_{1}}={{(0)}^{2}}=(0)(0)=0$

$x=1\Rightarrow {{y}_{1}}={{(1)}^{2}}=(1)(1)=1$

$x=2\Rightarrow {{y}_{1}}={{(2)}^{2}}=(2)(2)=4$

$x=3\Rightarrow {{y}_{1}}={{(3)}^{2}}=(3)(3)=9$

${{y}_{2}}=2x+3\Rightarrow $

$x=-2\Rightarrow {{y}_{2}}=2(-2)+3=-1$

$x=-1\Rightarrow {{y}_{2}}=2(-1)+3=1$

$x=0\Rightarrow {{y}_{2}}=2(0)+3=3$

$x=1\Rightarrow {{y}_{2}}=2(1)+3=5$

$x=2\Rightarrow {{y}_{2}}=2(2)+3=7$

$x=3\Rightarrow {{y}_{2}}=2(3)+3=9$

$x=-1\Rightarrow {{y}_{1}}={{y}_{2}}$

$x=2\Rightarrow {{y}_{1}}={{y}_{2}}$

2)‌ با استفاده از جدول بالا، نمودار معادله‌های ${{y}_{1}}={{x}^{2}}$ و ${{y}_{2}}=2x+3$ در دستگاه مختصات زیر رسم کنید.

3) مختصات نقطهٔ برخورد این دو نمودار را بیابید.

4) آیا مختصات نقاط برخورد خط و منحنی در هر دو معادله صدق می‌کنند؟

5) آیا طول‌های نقاط برخورد منحنی ${{y}_{1}}$ و خط ${{y}_{2}}$ در معادلهٔ ${{x}^{2}}=2x+3$ صدق می‌کنند؟

معادلهٔ ${{x}^{2}}+6x-7=0$ را در نظر بگیرید.

1) جمله‌هایی را که مجهول دارند، در یک طرف تساوی نگه دارید و جملهٔ ثابت را به طرف دیگر ببرید.

${{x}^{2}}+6x-7=0\Rightarrow {{x}^{2}}+6x=7$

2) نصف ضریب $x$ در معادلهٔ بالا را به دست آورید و آن را به توان ۲ برسانید.

$b=6\to \frac{b}{2}=\frac{6}{2}=3\to $

${{\left( \frac{b}{2} \right)}^{2}}={{3}^{3}}=9$

3) عدد به‌دست آمده از مرحلهٔ (۲) را به دو طرف معادلهٔ مرحلهٔ (1) اضافه کنید.

${{x}^{2}}+6x=7$

${{x}^{2}}+6x+9=7+9$

$\Rightarrow {{x}^{2}}+6x+9=9$

4) طرف اول تساوی را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای، به‌صورت مجذور یک عبارت بنویسید.

(یادآوری: اتحاد مربع دو جمله‌ای به‌صورت ${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ است.)

${{x}^{2}}+6x+9=16$

${{x}^{2}}+2(3)x+{{3}^{2}}=(x+3)=16\Rightarrow {{(x+3)}^{2}}=16$

5) از دو طرف تساوی جذر بگیرید و دو جواب برای $x$ به‌دست آورید.

$\sqrt{{{(x+3)}^{2}}}=\sqrt{16}\Rightarrow x+3\pm 4$

$x=-2\pm 4\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=-3+4=1 \\ & {{x}_{2}}=-3-4=-7 \\ \end{align} \right.$

${{x}^{2}}+6x-7=0\to \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=-7 \\ \end{align} \right.$

${{(1)}^{2}}+6(1)-7=0$

$1+6-7$

$7-7=0$

${{(-7)}^{2}}+6(-7)-7=0$

$49-42-7$

$49-49=0$

معادلهٔ درجهٔ دوم دلخواه $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ را در نظر بگیرید ($a\ne 0$).

1) طرفین معادلهٔ بالا را بر $a$ تقسیم کنید و معادلهٔ درجهٔ دومی بنویسید که ضریب ${{x}^{2}}$ در آن برابر 1 باشد.

$\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{a}=\frac{0}{a}\to $

$\frac{\cancel{a}{{x}^{2}}}{\cancel{a}}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0\Rightarrow $

${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

2) جمله‌های دارای $x$ را در یک طرف تساوی نگه دارید و جملهٔ ثابت (جملهٔ فاقد $x$) را به طرف دیگر ببرید.

${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

3) در معادلهٔ بالا، نصف ضریب $x$ را به‌دست آورید و آن را به توان ۲ برسانید.

$\frac{b}{a}\to \frac{\frac{b}{a}}{\frac{2}{1}}=\frac{b\times 1}{a\times 2}=\frac{b}{2a}\to {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}=\frac{b2}{4a2}$ ضریب $x$

4) عدد به دست آمده از مرحلهٔ (3) را به دو طرف معادلهٔ مرحلۀ (2) اضافه کنید.

${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{c}{a}$

5) به کمک تساوی‌های بالا، جاهای خالی را پر کنید:

$\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}$ $=$ $\frac{b}{2a}{{)}^{2}}$ $+$ $x$ $($

$\sqrt{{{(x+\frac{2}{a})}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}}=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{\sqrt{4{{a}^{2}}}}$

$(x+\frac{b}{2a})=\pm \frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$

$\sqrt{4{{a}^{2}}}=\sqrt{4}\times \sqrt{{{a}^{2}}}=2a$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$

6) تساوی بالا در چه شرایطی امکان‌پذیر است؟ معادلهٔ درجهٔ دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ در چه شرایطی جواب دارد؟

7) نشان دهید در صورت مثبت بودن ${{b}^{2}}-4ac$ جواب‌های معادلهٔ $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ برابر جواب‌های دو معادلهٔ زیر است.

$x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$

$0\le {{b}^{2}}-4ac$

${{x}_{1/2}}=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$